Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

Эту статью предлагается удалить.

Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/11 января 2025.
Пока процесс обсуждения не завершён, статью можно попытаться улучшить, однако следует воздерживаться от переименований или немотивированного удаления содержания, подробнее см. руководство к дальнейшему действию.
Не снимайте пометку о выставлении на удаление до подведения итога обсуждения.

---

Последнее изменение сделано участником Sldst-bot (вклад ·журналы) в 18:42, 5 сентября 2025 (UTC; около 228 дней назад).

Администраторам и подводящим итоги:

• ссылки сюда
• история
• журналы
• удалить

Доверительный интервал для математического ожидания — интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности.

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$ — независимаявыборка из нормального распределения, где ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ — известная дисперсия. Определим произвольное ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ и построим доверительный интервал для неизвестного среднего${\displaystyle \mu }$.

Утверждение.Случайная величина

${\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

имеет стандартное нормальное распределение${\displaystyle \mathrm {N} (0,1)}$. Пусть ${\displaystyle z_{\alpha }}$ — это ${\displaystyle \alpha }$-квантиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha }$.

После подстановки выражения для ${\displaystyle Z}$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha }$.

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$ — независимая выборка из нормального распределения, где ${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2}}$ — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего ${\displaystyle \mu }$.

Утверждение. Случайная величина

${\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$,

где ${\displaystyle S}$ — несмещённое выборочное стандартное отклонение, имеет распределение Стьюдента с ${\displaystyle n-1}$ степенями свободы ${\displaystyle \mathrm {t} (n-1)}$. Пусть ${\displaystyle t_{\alpha ,n-1}}$ — ${\displaystyle \alpha }$-квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(-t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}\leq T\leq t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}\right)=1-\alpha }$.

После подстановки выражения для ${\displaystyle T}$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\bar {X}}-t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha }$.

Это заготовка статьи по статистике. Помогите Википедии, дополнив её.

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску).

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок.(25 июля 2009)